发电机有功和无功功率功角特性曲线
功角特性是同步发电机的基本特性之一。同步发电机功角特性是指发电机的有功功率（p）、无功功率（q）与发电机电抗（xd、xq）、内电动势（ed）、机端电压（u）和功角（s）的关系特性。通过功角特性，可以确定稳态运行时发电机所能发出的最大电磁功率，同时同步发电机也是并联运行时经常应用的重要特性。
一、发电机功角特性
1、凸极发电机功角特性
发电机功角是发电机内电势与发电机端电压向量的夹角。功角也可以理解为定子磁场与转子磁场之间的夹角，功角是一个角度，发电机额定正常运行功角一般在30度左右，在0～90之间功角越大发电机功率越大，但超过90度发电机外界受到扰动后就处于不稳定状态了，对于有自动调节励磁装置的发电机由于受暂态磁阻的影响发电机的功角特性曲线发生偏移，功角可以大于90度稳定运行。
发电机的功角特性曲线表示同步发电机向系统输送的有功功率与功率角之间关系的曲线。
（1）有功特性
发电机输出的有功功率为：
p=ed*u*sinδ/xd+u2*sin2δ*(1/xq–1/xd)/2
（2）无功特性
发电机输出的无功功率为
q=ed*u*cosδ/xd+u2*cos2δ*(1/xq–1/xd)/2-u2*(1/xq+1/xd)/2
图1 同步发电机功率角和电磁转矩
2、隐极发电机功角特性
对于隐极发电机，取xd=xq。
（1）有功特性
发电机输出的有功功率为
p=ed*u*sinδ/xd
p代表发电机输出的有功功率，对发电机产生制动的电磁转矩。在一定的电压和励磁电流下，发电机的有功功率p与功角多是函数关系。
（2）无功特性
发电机输出的无功功率为
q=ed*u*cosδ/xd+u2/xd
式中第一项与ed和δ有关，它表示由转子励磁经电磁感应传递到定子的无功功率，值随δ角的余弦而改变。
由于u*cosδ=ed–id*xd，则上式第一项可改写为
ed2/xd–ed*id
第二项与ed和δ无关，它代表发电机维持一定端电压u所需励磁的无功功率。因为ed=u*costδ+id*xd，故q=ed*id–id2*xd，即供给电网的无功功率等于主磁通转换的无功功率减去电枢绕组电感的无功损耗。
由此可见，增加发电机的励磁电流(即加大ed)，便可增大发电机的无功输出。对于隐极发电机，取xd=xq。
此时发电机输出的有功功率为
p=ed*u*sinδ/xd
但当δ=90°时，p为最大功率（即极限功率）。
图2 凸极发电机功角特性曲线图
图3 隐极发电机功角特性曲线图
二、功角的物理含义
1、功角含义
（1）表示e0和u这两个时间相量之间的时间相位差角；
（2）表示产生e0的主磁极磁势ff与产生端电压u的定子合成磁势fu之间的空间相位角，即转子磁极轴线与定子合成等效磁极轴线之间的空间夹角(电角度)。现解释如下：
由图4所示可知，功角δ是时间相量e0和u之间的相位差角。
前已说明，空载电势e0由主磁极磁势ff产生，相位比主磁通f0滞后90°；端电压u可视为由电枢磁势fa与主磁极磁势ff相加的定子合成磁势fu所产生，相位比定子合成磁势的磁通fu滞后90°。定子合成磁场的磁通(合成磁通)fu是电枢绕组的总磁通值，包括主磁通f0、电枢反应磁通fa和电枢漏磁通fs。
由此看来，δ角就是主磁通f0和合成磁通fu之间的夹角。前已述及，磁通既可作为时间相量，又可视为空间相量。
图4 凸极发电机的功角特性曲线图
1-基本电磁功率曲线；2-附加电磁功率曲线；3-凸极机功角特性
2、功角的空间含义
图5中的空间相量和时间相量都以同步角速度旋转，而且各相量的相对位置保持不变。δ既是主磁通f0和合成磁通fu之间的相位差角、又是主极磁场轴线和定子合成磁场轴线之间的空间位移电角。产生主磁通f0的转子磁极时实际存在的，为了形象起见，可假定与fu相应也有一个定子等效磁极，这两个磁极以同步转速旋转，它们轴线间的夹角即为功角δ，这样功角δ便有了空间意义。
图5 发电机相量图和等效电路图
3、电枢反应
在讲述电枢反应时已经指出，电枢电流的直轴分量(无功性质)的电枢反应，不影响主磁场的分布；电枢电流的交轴分量(有功性质)的电枢反应，则使主磁场畸变，亦即定子合成磁场的轴线相对于主磁极磁场轴线偏移一个角度，这个角度就近似等于功角δ。电枢电流的交轴分量愈大，磁场畸变愈大，功角也就愈大。由此便可进一步理解功角“功”字的意义。
图5 发电机磁场示意图.
三、功角测量方法
功角是表征同步发电机运行状态和判别电力系统稳定性的重要参量，多年来，功角的测量得到了广泛的重视和深入的研究。已有的测量方法从原理上主要有两大类：
（1）纯电气测量方法
即采集同步发电机的输出电压、电流或/和其他电气量，进而通过理论分析和计算来获得功角。该类方法最简化的情况就是基于稳态公式或相量图的解析计算法，它在系统稳态运行且发电机的参数比较精确时，能比较准确地计算出功角，而在系统暂态过程中，由于参数时变性、机组铁心饱和等的影响，方法所依赖的解析公式不能成立，导致较大的计算误差。
（2）非电量传感器（包含光电或磁电变换）测量法
常见的作法是，在转子轴上设置机械测点或测速齿轮，在转子周围安装光电、电刷或电磁装置，后者接收由前者产生的脉冲信号或其它与转子位置或速度相关的量，进而通过一定的变换来实现功角的测量（以下简称脉冲法）。
脉冲法往往需要对发电机本体进行不同程度的改造，工艺复杂，而且由于采用非电量传感器，需借助于比较复杂的信号处理和误差补偿技术，以去除诸如机械加工误差、信号传输延时、轴体扭振等导致的结构性误差；而且针对个案提出的方法很难适用于别的发电机，导致实现代价较大。
